Dik üçgende trigonometrik oranlar çözümlü sorular

Trigonometri çözümlü sorular ve konu anlatımı lys

TRİGONOMETRİ  

BİRİM ÇEMBER :

Merkezinin koordinatları eksenlerin başlangıç noktası

ve yarı çapı 1 birim uzunlukta olan çembere

 trigonometri  çemberi veya birim çember denir.

Birim çemberin yarı çapı r=1  olduğundan çevresi 

2 π   birimdir.

   

Çemberin çevresi, 3600 derece , π  radyan, yada 400 Grad a eşittir. Buna göre;

 D  
180
=    R
  π 
=  G  
200

eşitlikleri yazılır.

 

 TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR

Trigonometrik çember üzerinde K(x1,y1)  olmak üzere,

 Sinα=y1 , Cosα=x1   ,  Tanα=|AT|,  Cotα=|BP|   olur.

 Sin2α+Cos2α=1   olur.  Buradan,

 Sin2α=1-Cos2α  ,   Cos2α=1-Sin2α    olur.

 

 Dik  Üçgenlerde trigonometrik oranlar 

 

Sinα=

  b
  c  
Karşı dik kenar uzunluğu  
Hipotenüs uzunluğu

 

 Cosα=

  b
  c 
 Komşu dik kenar uzunluğu  
Hipotenüs uzunluğu

 

tanα=

  b
  a  
Karşı dik kenar uzunluğu  
Komşu dik kenar uzunluğu 

 

Cotα=

  a
  b 
 Komşu dik kenar uzunluğu  
Karşı dik kenar uzunluğu 

 

Secα=

     1

   Cosα   
   c 
   a 

 

Cesecα=

     1
   Sinα
   c  
   b

tanα=

  Sinα  
 Cosα  
  ise  tanα.Cotα=1   olur.
 
 Secα.Cosα=1       ,   coseccα.Sinα=1  

 Şekilde  m(A)+m(B)=90    ise  

SinA=CosB   ,  SinB=CosA ,   tanA=CotB  ,  cotA=tanB   olur.

 

 Örnek:

Şekildeki dik üçgende verilenlere göre Sinα=?  Cosα=?  tanα=?  Cotα=?

Çözüm:    Hipotenüs uzunluğu c=?  pisagor teoremi ile c bulunur.

c2=a2+b2    ise  c2=82+62    ,   c2=64+36  , c2=100  ise   c=√100=10  olur.

 

Sinα=

  b
  c  

 

=

 6
 10 

 

=

 3
 5 

 

Cosα=

  a
  c  

 

=

 8
 10 

 

=

 4
 5 

 

tanα=

  b
  a  

 

=

 6
 8 

 

=

 3
 4 

 

Cotα=

  b
  a  

 

=

 8
 6 

 

=

 4
 3 
 

 Önemli özel açıların trigonometrik oranları:

α 0 30 45 60 90
Sinα 0 1/2 2 /2 √3/2 1
Cosα 1 √3/2 2 /2 1/2 0
tanα 0 √3/3 1 √3 Tanımsız
Cotα Tanımsız √3 1 √3/3 0
 

 Trigonometrik fonksiyonların bölgelere göre açı değerleri:

1. Bölgede 

Sin(2kπ+α)=Sinα

Cos(2kπ+α)=Cosα

Tan(2kπ+α)=Tanα

Cot(2kπ+α)=Cotα

 Örnek:

Sin(420)=Sin(360+60)=Sin60  (1. bölgede sinüs değeri pozitif sayıdır.)

Cos390=Cos(360+30)=Cos30   (1. bölgede cos değeri pozitif sayıdır.)

Tan380=Tan(360+20)=Tan20   (1. bölgede tan değeri pozitif sayıdır.)

Cot750=Cot(2.360+30)=Cot30  (1. bölgede cot değeri pozitif sayıdır.)

2. Bölgede 

Sin(π-α)=Sinα

Cos(π-α)=-Cosα

Tan(π-α)=-Tanα

Cot(π-α)=-Cotα

 Örnek:

Sin120=Sin(180-60)=Sin60  (2. bölgede sinüs değeri pozitif sayıdır.)

Cos150=Sin(180-30)=-Cos30  (2. bölgede cos30 değeri - ile çarpılır.)

Tan135=Tan(180-45)=-Tan45 (2. bölgede sin/cos  -  sayıdır.)

Cot120=Cot(180-60)=-Cot60 (2.bölgede cot negatif,  cot60  - ile çarpılır.)

3. Bölgede 

Sin(π+α)=-Sinα

Cos(π+α)=-Cosα

Tan(π+α)=Tanα

Cot(π+α)=Cotα

 Örnek:

Sin210=Sin(180+30)=-Sin30  (3. bölgede sinüs değeri negatif sayıdır.)

Cos225=Cos(180+45)=-Cos45   (3. bölgede cos değeri negatif sayıdır.)

 Tan240=Tan(180+60)=Tan60   (3. bölgede tan değeri pozitif sayıdır.)

Cot230=Cot(180+50)=Cot50   (3. bölgede cot değeri pozitif sayıdır.)

4. Bölgede 

Sin(2π-α)=-Sinα

Cos(2π-α)=Cosα

Tan(2π-α)=-Tanα

Cot(2π-α)=-Cotα

 

Sin(-α)=-Sinα

Cos(-α)=Cosα

Tan(-α)=-Tanα

Cot(-α)=-Cotα

 
 
   

1)

 

 Şekildeki dik üçgende verilenlere göre

Cot x + tan y değeri kaçtır?

 

 

Çözüm :

Pisagor teoreminden , yada 5-12-13 üçgeninden;

|BC| = 12 olur.

Cotx = 5/12     ve    tan y= 5/12   olup

5/12  +  5/12 = 10/12    sadeleşirse cevap 5/6

     

2)

 

 

 Şekildeki dik üçgende verilenlere göre

Cos x =?

 

 

 

   Çözüm:

|AB| 2 = 6 2 + 3 2

|AB| 2 = 36 + 9

 |AB| 2 = 45

 |AB| = √45 = 3 √5

Cos x = 6 / 3 √5

Cos x = 2 / √5

Cos x = 2 √5 / 5

 

     

3)

 

 

Şekilde verilenlere göre Sin α =?

 

 

 

 

Çözüm:

|DC| 2 = ( 2 √5 ) 2 - 2 2

|DC| 2 = 20 - 4

 |DC| 2 = 16

 |DC| = 4

Ayrıca DEC açısı iç ters açıdan α ya eşittir.

Sin α = Karşı / hipotenüs

Sin α =4 / 2 √5

Sin α =2 / √5

Sin α = 2 √5 / 5

Sin α = 2 √5 / 5     olur.

     
     

Gösterim: 41931